Turing-Instabilität im Quantenaktivator

Oct 15, 2023

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 15573 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Turing-Instabilität ist ein grundlegender Mechanismus der Selbstorganisation im Nichtgleichgewicht. Trotz der Universalität ihres wesentlichen Mechanismus wurde die Turing-Instabilität bisher jedoch hauptsächlich in klassischen Systemen untersucht. In dieser Studie zeigen wir, dass Turing-Instabilität in einem quantendissipativen System auftreten kann, und analysieren seine Quantenmerkmale wie Verschränkung und den Effekt der Messung. Wir schlagen einen entarteten parametrischen Oszillator mit nichtlinearer Dämpfung in der Quantenoptik als Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit vor und zeigen, dass ein System aus zwei solchen Einheiten eine Turing-Instabilität erfahren kann, wenn sie diffusiv miteinander gekoppelt werden. Die Turing-Instabilität induziert Ungleichmäßigkeit und Verschränkung zwischen den beiden Einheiten und führt zu einem Paar ungleichmäßiger Zustände, die aufgrund von Quantenrauschen gemischt werden. Eine weitere kontinuierliche Messung des gekoppelten Systems zeigt die durch die Turing-Instabilität verursachte Ungleichmäßigkeit. Unsere Ergebnisse erweitern die Universalität des Turing-Mechanismus auf den Quantenbereich und bieten möglicherweise eine neue Perspektive auf die Möglichkeit der Quanten-Nichtgleichgewichts-Selbstorganisation und ihre Anwendung in Quantentechnologien.

Die Natur weist eine Vielzahl von Ordnungen auf, die durch spontane Symmetriebrechungen, die durch interne Wechselwirkungen innerhalb von Systemen verursacht werden, wie spontane Magnetisierung, Kristallwachstum und Supraleitung, selbstorganisiert werden1,2,3. Insbesondere können offene Nichtgleichgewichtssysteme eine Vielzahl selbstorganisierter Muster unterstützen, die in Gleichgewichtssystemen nicht auftreten können, sogenannte dissipative Strukturen. Beispiele für dissipative Strukturen sind Flüssigkeitskonvektionsmuster, Laseroszillationen, chemische Wellen und Muster sowie biologische Muster und Rhythmen4,5,6. Selbstorganisation und Musterbildung wurden auch in Quantensystemen wie atomaren Bose-Einstein-Kondensaten und eingefangenen Ionen7,8, optomechanischen Systemen9 und Quantenpunkten10 untersucht. Die Quantensynchronisation11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, die in letzter Zeit wachsendes Interesse geweckt hat, ist ebenfalls ein Beispiel für die Quanten-Nichtgleichgewichts-Selbstorganisation.

Im Jahr 1952 zeigte Turing, dass der Unterschied zwischen den Diffusivitäten reagierender chemischer Spezies einheitliche stationäre Zustände destabilisieren und die spontane Entstehung ungleichmäßiger periodischer Muster in räumlich ausgedehnten Systemen verursachen kann23. 1972 lieferten Gierer und Meinhardt eine intuitive Erklärung der Turing-Instabilität, indem sie das heute bekannte Konzept von Aktivator-Inhibitor-Systemen mit lokaler Selbstverstärkung und weitreichender Hemmung einführten24. Später wurden die Turing-Instabilität und die daraus resultierenden Muster in verschiedenen Systemen untersucht, beispielsweise solchen, die chemische Reaktionen25,26,27 oder biologische Morphogenese28,29,30, ökologische Populationen31,32,33 und nichtlineare optische Systeme34,35,36,37 durchlaufen. 38,39,40. Turing-Muster wurden auch theoretisch in stochastischen Systemen41,42,43,44 und vernetzten Systemen45,46,47,48,49 untersucht. Die erste experimentelle Realisierung von Turing-Mustern gelang 199050, 40 Jahre nach Turings bahnbrechender Arbeit, gefolgt von der ersten experimentellen Bestimmung des Bifurkationsdiagramms51 unter Verwendung der Chlorit-Iodid-Malonsäure-Reaktion in einem Gelreaktor. Jüngste Fortschritte und moderne Diskussionen zur Turing-Instabilität wurden z. B. in Ref.52 besprochen und umfassen verschiedene neue Aspekte von Turing-Mustern, einschließlich Instabilität in Systemen mit mehreren Spezies53,54, Einflüsse des Domänenwachstums55,56,57,58 und Auswirkungen von Verzögerung und Rauschen59.

Jüngste Entwicklungen in der Nanotechnologie haben sowohl theoretische als auch experimentelle Untersuchungen von Turing-Typ-Instabilität und -Mustern in mikro- und nanoskaligen Systemen angeregt, wie z. B. Schurkenwellen in einem Hohlraum mit Quantenpunktmolekülen60, vektorielles Kerr-Medium61, Erzeugung der zweiten Harmonischen innerhalb des Hohlraums62, longitudinale Mikroresonatoren63, Kerr -aktive Mikroresonatoren64, Halbleiter-Mikrokavitäten65 und eine Wismut-Monoschicht66. Daher wird eine systematische Analyse der Möglichkeit einer Turing-Instabilität in Quantensystemen immer wichtiger. In dieser Forschungsrichtung haben bahnbrechende Studien zu nichtlinearen optischen Systemen, z. B. optischen parametrischen Oszillatoren38,39,40, die Möglichkeit der Musterbildung über Turing-Typ-Instabilität34 in Betracht gezogen und die Auswirkungen von Quantenfluktuationen35 und Quantenquetschung36 diskutiert. Aufgrund der Schwierigkeit, eine unendliche Hierarchie von Gleichungen für Operatorprodukte zu handhaben, beschränkte sich die Analyse jedoch auf den Fall, der über die näherungsweise stochastische Differentialgleichung klassischer Felder behandelt werden kann, die Quantenfluktuationen unterliegen37.

Kürzlich wurde unter Verwendung einer vollständig quantenmechanischen Mastergleichung die Verzweigung in einem System aus einem Paar gekoppelter Quanten-Stuart-Landau-Oszillatoren vom einheitlichen Amplituden-Todeszustand in den ungleichförmigen Oszillations-Todeszustand diskutiert67,68,69, was möglich ist wird als Quantenmanifestation der Turing-artigen Bifurkation angesehen, die ursprünglich in einem klassischen System analysiert wurde70. Obwohl diese Bifurkation interessant ist, handelt es sich nicht genau um die Turing-Instabilität im ursprünglichen Sinne, da das betrachtete System nicht vom Aktivator-Inhibitor-Typ ist und keinen homogenen stationären Zustand besitzt, wenn die Kopplung fehlt70. Darüber hinaus wurde der Zusammenhang zwischen der Turing-Bifurkation und Quantenmerkmalen wie Quantenverschränkung und Quantenmessung in diesen Arbeiten nicht untersucht67,68,69.

In dieser Studie analysieren wir Turing-Instabilität im ursprünglichen Sinne von Turing23 und Gierer und Meinhardt24 in quantendissipativen Systemen im einfachsten Fall, dh in einem Paar symmetrisch gekoppelter Einheiten, indem wir ein Minimalmodell von Quantenaktivator-Inhibitor-Systemen bereitstellen. Wir zeigen, dass sich ein entarteter parametrischer Oszillator mit nichtlinearer Dämpfung wie eine Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit verhalten kann und dass die diffusive Kopplung zwischen zwei solchen Einheiten Turing-Instabilität induzieren und zu Ungleichmäßigkeit und Verschränkung zwischen den beiden Einheiten führen kann, was zu einem Paar ungleichmäßiger Einheiten führt Zustände, die aufgrund von Quantenrauschen symmetrisch gemischt sind. Wir zeigen weiterhin, dass die Durchführung kontinuierlicher Messungen am gekoppelten System diese Symmetrie aufbricht und die wahre Asymmetrie aufdeckt, die durch die Turing-Instabilität verursacht wird. Ein schematisches Diagramm ist in Abb. 1 dargestellt.

Quanten-Turing-Instabilität. (a) Paar Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten. (b) Eine diffusive Kopplung zwischen den beiden Einheiten kann eine Turing-Instabilität hervorrufen, die zu Ungleichmäßigkeit und Verschränkung zwischen den Einheiten führt und ein Paar ungleichmäßiger Zustände ergibt, die aufgrund von Quantenrauschen symmetrisch gemischt sind. (c) Eine weitere kontinuierliche Messung der beiden Einheiten kann die Symmetrie zerstören und die durch die Turing-Instabilität verursachte Asymmetrie aufdecken.

Wir zeigen zunächst, dass ein einmodiger, entarteter parametrischer Oszillator mit nichtlinearer Dämpfung in der Quantenoptik71 in dem Sinne als Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit betrachtet werden kann, dass die deterministische Flugbahn des Systems im klassischen Grenzfall der konventionellen Aktivator-Inhibitor-Dynamik folgt.

Wir bezeichnen mit \(\omega _{0}\) die Resonanzfrequenz des Hohlraums und mit \(\omega _{p}\) die Frequenz des Pumpstrahls der Quetschung. Im rotierenden Koordinatensystem der Frequenz \(\omega _{p}/2\) folgt die Entwicklung des Dichteoperators \(\rho\), der den Systemzustand darstellt, der Quanten-Master-Gleichung (QME)71

Dabei ist \([A, B] = AB - BA\) der Kommutator zweier Operatoren A und B, a der Vernichtungsoperator, der ein Photon aus dem System subtrahiert, und \(a^{\dag }\) die Schöpfung Operator, der dem System ein Photon hinzufügt (\(\dag\) bezeichnet das hermitesche Konjugat), \(\Delta = \omega _{0} - \omega _{p}/2\) ist die Verstimmung der Resonanzfrequenz des Systems aus der halben Frequenz des Pumpstrahls, \(\eta e^{ i \theta }\) (\(\eta \ge 0\)) ist der Quetschparameter, der die effektive Amplitude des Pumpstrahls darstellt, \ ({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L - L^{\dag } L \rho )/2\) ist die Lindblad-Form, die die Kopplung des Systems mit den Reservoirs durch den Operator L (\(L=a\) oder \(L=a^2\)) darstellt, und \(\gamma _{1}~(>0) \) und \(\gamma _{2}~(>0)\) sind die Abklingraten für lineare und nichtlineare Dämpfung, d. h. der Einzelphotonen- bzw. Zweiphotonenverlust aufgrund der Kopplung des Systems mit dem jeweiligen Stauseen. Die reduzierte Planck-Konstante wird als \(\hbar = 1\) festgelegt.

Wir verwenden die Phasenraummethode72,73 und verwenden die Wigner-Verteilung W(x, p) als Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung, um den Dichteoperator \(\rho\) darzustellen, wobei x und p die Position und den Impuls im Phasenraum bezeichnen. jeweils. Mit diesem Ansatz können wir die QME in die Evolutionsgleichung für W(x, p) im Phasenraum umwandeln, die im Allgemeinen Ableitungsterme höherer Ordnung als zweiter Ordnung aufweist. Wenn \(\gamma _2\) klein ist, können wir die Ableitungsterme höherer Ordnung vernachlässigen und die Entwicklungsgleichung für W(x, p), die QME (1) entspricht, kann durch eine semiklassische Fokker-Planck-Gleichung (FPE) angenähert werden. oder die entsprechende stochastische Differentialgleichung (SDE). Die deterministische Trajektorie im klassischen Grenzwert von QME (1), die den Effekt von kleinem Quantenrauschen vernachlässigt und durch den deterministischen Teil der SDE gegeben ist, folgt dem folgenden zweidimensionalen System:

Siehe „Methoden“ für die detaillierte Ableitung der Gleichungen und Charakterisierung des Quantenregimes.

Durch geeignete Wahl der Parameter gehorcht das klassische System (2) der Aktivator-Inhibitor-Dynamik (siehe „Methoden“). Wir stellen die Parameter so ein, dass die Position x und der Impuls p die Rolle der Aktivator- bzw. Inhibitorvariablen spielen, d. h. x steigert autokatalytisch seine eigene Produktion, während p das Wachstum von x unterdrückt. Es wird darauf hingewiesen, dass sich das System ohne nichtlineare Dämpfung auch wie eine Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit verhalten kann, eine nichtlineare Dämpfung ist jedoch erforderlich, um zu verhindern, dass der Systemzustand nach der Destabilisierung am Ursprung ins Unendliche divergiert.

Abbildung 2a zeigt das deterministische Vektorfeld von Gl. (2), wobei die beiden Kurven Nullgefälle von x und p darstellen (auf denen \({\dot{x}} = 0\) oder \({\dot{p}} = 0\)) und deren Schnittpunkt bei \ ((x,p) = (0, 0)\) entspricht einem stabilen Fixpunkt. Abbildung 2b zeigt ein Streudiagramm einer einzelnen Trajektorie des semiklassischen SDE, das durch direkte numerische Simulationen (DNSs) im stationären Zustand (siehe „Methoden“) erhalten wurde, und Abbildung 2c zeigt die stationäre Wigner-Verteilung, die aus QME (1) erhalten wurde. Die semiklassische Flugbahn und die Wigner-Verteilung sind aufgrund des Quantenrauschens um den klassischen Fixpunkt im Ursprung verteilt.

Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit. (a) Nulllinien des deterministischen Vektorfeldes von Gl. (2). Blaue und grüne Kurven zeigen die Mengen (x, p) an, die \({\dot{x}} = 0\) bzw. \({\dot{p}} = 0\) erfüllen. (b) Stochastische Trajektorie von (x, p), erhalten aus der semiklassischen SDE. (c) Stationäre Wigner-Verteilung W(x, p), erhalten aus der QME. Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1, \theta = \pi\) und \(\eta = 0,3\).

Bei der klassischen Turing-Instabilität wird der einheitliche stationäre Zustand räumlich verteilter Aktivator-Inhibitor-Systeme destabilisiert, wenn eine Diffusion der Aktivator- und Inhibitorspezies mit geeigneter Diffusionsfähigkeit eingeführt wird, was zur Bildung uneinheitlicher Zustände führt23. Im einfachsten Fall kann diese kontraintuitive Turing-Instabilität bereits in einem System beobachtet werden, das aus zwei diffusiv gekoppelten Aktivator-Inhibitor-Einheiten mit identischen Eigenschaften besteht: Ein einheitlicher stationärer Zustand des Systems, in dem die beiden Einheiten die gleichen Zustände einnehmen, wird destabilisiert, wenn Die Diffusivitäten werden entsprechend gewählt, was zur Bildung eines ungleichmäßigen stationären Zustands führt, in dem sich die beiden Einheiten in unterschiedlichen Zuständen niederlassen.

Als Quantenmodell, das einer Turing-Instabilität unterliegt, koppeln wir diffusiv zwei identische Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten (bezeichnet mit 1 und 2), von denen jede Gl. (1). Das gekoppelte System der beiden Einheiten wird durch einen zweimodigen Dichteoperator \(\rho\) beschrieben, der der QME gehorcht

wobei \(a_j\) und \(a_j^{\dag }\) die Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren für die j-te Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit (\(j = 1, 2\)) sind. Die Parameter \(\Delta , \eta e^{ i \theta }, \gamma _1\) und \(\gamma _2\) sind beiden Einheiten gemeinsam. In dieser Gleichung stellt die erste Zeile die beiden durch Gl. (1) und die neu eingeführten Begriffe in der zweiten Zeile stellen die Kopplung zwischen den beiden Einheiten dar. Der erste Kopplungsterm kann als Summe von Quetschtermen dargestellt werden, d. h. \(- i \left[ i \frac{D_{h}}{4} \left\{ (a_1 - a_2)^2 \right. \ rechts.\) \(\left. \left. - (a_1^\dag - a_2^\dag )^2 \right\} , \rho \right] = \sum _{j=1,2} \left( -i \left[ i \frac{D_{h}}{4} ( a_{j}^2 - a_{j}^{\dag 2}), \rho \right] \right) -i \left[ i \frac{D_{h}}{2} ( a_{1}^{\dag } a_{2}^{\dag } - a_{1} a_{2}), \rho \right]\), die als Single-Mode- bzw. Two-Mode-Squeezing-Hamiltonoperatoren interpretiert werden können. Der zweite Term mit \(D_{c}\) stellt dissipative Kopplung dar, nämlich eine Kopplung, die aus dissipativen Prozessen entsteht12,14. Es wird darauf hingewiesen, dass Gl. (3) ist symmetrisch bezüglich des Austauschs der Einheiten 1 und 2.

Durch die Verwendung der Phasenraummethode für Zweimodensysteme kann die deterministische Dynamik im klassischen Grenzwert von QME (3) wie folgt abgeleitet werden (siehe „Methoden“)

wobei \(x_j\) und \(p_j\) die Position und den Impuls der j-ten Einheit im Phasenraum der Two-Mode-Wigner-Verteilung \(W(x_1, p_1, x_2, p_2)\)73 darstellen. Wir sehen, dass zwei klassische Aktivator-Inhibitor-Einheiten, die jeweils durch Gl. (2) sind durch den letzten Term in jeder Gleichung diffusiv über die Position x (Aktivator) und den Impuls p (Inhibitor) gekoppelt. Diese Terme ergeben sich aus den Single- und Two-Mode-Squeezing-Hamiltonoperatoren, deren Intensitäten durch \(D_h\) gekennzeichnet sind, und aus der dissipativen Kopplung, deren Intensität durch \(D_c\) in Gleichung charakterisiert ist. (3). Die Diffusionskonstanten von x und p in Gl. (4) sind durch \(D_x = (D_{c} + D_{h})/2\) bzw. \(D_p = (D_{c} - D_{h})/2\) gegeben. Es ist zu beachten, dass der erste durch \(D_h\) gekennzeichnete Term eine Hamilton-Kopplung darstellt und nicht dissipativ ist, in der deterministischen Dynamik im klassischen Grenzwert in Gl. jedoch als dissipative Kopplung fungiert. (4).

Das durch Gl. beschriebene klassische gekoppelte System. (4) kann eine Turing-Instabilität erfahren, wenn die Bedingungen der lokalen Selbstverstärkung und der Fernhemmung erfüllt sind (siehe „Methoden“). Daher ist das Quantenaktivator-Inhibitor-System, Gl. (3) wird voraussichtlich auch eine Turing-Instabilität aufweisen, wenn die Parameterwerte geeignet gewählt werden. Unser Ziel in dieser Studie ist es zu klären, ob Turing-Instabilität innerhalb des ursprünglichen Aktivator-Inhibitor-Gerüsts im einfachsten Fall in quantendissipativen Systemen auftreten kann. Wir stellen fest, dass die Anforderungen an ein gekoppeltes Aktivator-Inhibitor-Paar oder das Vorhandensein einer homogenen Lösung gelockert werden können, wenn wir allgemeinere Modelle betrachten53,54,55,56,57,58,59. In dieser Studie konzentrieren wir uns auf den einfachsten Fall eines Paares symmetrisch gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten und diskutieren Quanten-Turing-Instabilität im ursprünglichen Sinne von Turing23 und Gierer-Meinhardt24. Aufgrund seiner Einfachheit ermöglicht das Modell die direkte numerische Simulation der Quantendynamik und ist am besten für Experimente geeignet.

Das deterministische System (4) hat einen festen Punkt im Ursprung des 4-dimensionalen Phasenraums, dh \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (0, 0, 0, 0)\), der stabil ist, wenn Es gibt keine diffusive Kopplung, d. h. \(D_x = D_p = 0\). Beide Einheiten 1 und 2 setzen sich im Ursprung ab, dh \((x_j, p_j) = (0, 0)\) für \(j=1, 2\); Daher nimmt das gesamte System einen einheitlichen Zustand an. Wenn eine diffusive Kopplung mit geeigneten Diffusivitäten eingeführt wird, wird dieser einheitliche Zustand durch die Turing-Instabilität destabilisiert und stattdessen erscheint ein Paar stabiler ungleichmäßiger Fixpunkte bei \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) des deterministischen klassischen Systems (4) (siehe „Methoden“).

Dementsprechend lokalisiert sich im Quantensystem (3) der Zustand jeder Einheit um den stabilen Fixpunkt bei (0, 0), wenn die diffusive Kopplung fehlt (\(D_x = D_p = 0\)), wie in Abb. 2a gezeigt . Somit unterliegen die beiden Einheiten der gleichen Verteilung und das gesamte System befindet sich im einheitlichen Zustand. Wenn die Diffusionskonstanten jedoch richtig gewählt werden, wird dieser einheitliche Zustand durch die Turing-Instabilität destabilisiert und weicht ungleichmäßigen Zuständen, wie unten gezeigt.

Abbildung 3 zeigt die Turing-Instabilität im semiklassischen Regime, die von DNSs von QME (3) beobachtet wird. Für beide Einheiten werden die gleichen Parameter wie in Abb. 2 angenommen. Die beiden Einheiten sind in Abb. 3a, 3c, 3e entkoppelt (\(D_x = D_p = 0\)), während sie in Abb. 3b mit entsprechenden Diffusionskonstanten gekoppelt sind (\(D_x = 0,005, D_p = 0,995\)). , 3d, 3f. Um die Ungleichmäßigkeit des Systemzustands \(\rho\) zu veranschaulichen, führen wir die Zwei-Moden-Husimi-Q-Verteilung72,73 \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2) ein }\right) =\frac{1}{\pi ^{2}} \left\langle \alpha _1, \alpha _2 | \rho | \alpha _1, \alpha _2 \right\rangle\) mit \(\ alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1, 2)\) und verwenden Sie die Randverteilungen \(Q(x_1,x_2) = \int \int dp_1 dp_2 Q\left( x_{1}, p_{1} , x_{2}, p_{2}\right)\) und \(Q(p_1,p_2) = \int \int dx_1 dx_2 Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\right)\) der Positionsvariablen (Aktivatorvariablen) \(x_{1,2}\) und Impulsvariablen (Inhibitorvariablen) \(p_{1,2}\), berechnet aus \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\right)\).

In Abb. 3a, 3c ohne diffusive Kopplung sind sowohl \(Q(x_1, x_2)\) als auch \(Q(p_1, p_2)\) symmetrisch um den Ursprung verteilt. Die Variablen der beiden Einheiten sind unkorreliert und weisen statistisch gesehen die gleiche Verteilung auf. Somit ist der Zustand \(\rho\) des gesamten aus den beiden Einheiten bestehenden Systems symmetrisch und einheitlich. Im Gegensatz dazu ist in Abb. 3b, 3d mit diffusiver Kopplung \(Q(x_1, x_2)\) nicht symmetrisch und nimmt zwei Extrema in der Nähe der beiden klassischen Fixpunkte \((x_1, x_2) = (A, -A) an. \) und \((-A, A)\), und ähnlich nimmt \(Q(p_1, p_2)\) zwei Extrema in der Nähe von \((p_1, p_2) = (B, -B)\) und \(( -B, B)\). Somit nehmen die beiden Einheiten tendenziell entgegengesetzte Zustände an und der Zustand \(\rho\) des gesamten Systems ist uneinheitlich. Es ist zu beachten, dass der Systemzustand aufgrund des Quantenrauschens gemischt ist und die Verteilungen zwei symmetrische Spitzen in der Nähe der beiden klassischen Fixpunkte aufweisen.

Die Abbildungen 3e und 3f zeigen die marginalen Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) der Einheiten 1 und 2 für die Fälle ohne (e) und mit (f) diffusiver Kopplung. Diese Wigner-Funktionen erhält man aus den Randdichteoperatoren \(\rho _1 = \mathrm{Tr}\,_2[\rho ]\) und \(\rho _2 = \mathrm{Tr}\,_1[\rho ]\ ), wobei \(\mathrm{Tr}\,_j[\cdot ]\) die partielle Spur über System j im semiklassischen Regime darstellt. Aufgrund der Symmetrie der beiden Einheiten sind \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) zueinander identisch. Darüber hinaus sind die Wigner-Verteilungen in Abb. 3e ohne Diffusionskopplung mit denen einer einzelnen Einheit in Abb. 2c identisch. In Abb. 3e ohne Diffusionskopplung haben die Wigner-Verteilungen einen einzelnen Peak am Ursprung, während in Abb. 3f mit Diffusionskopplung die Wigner-Verteilungen zwei symmetrische Peaks in der Nähe der beiden stabilen Fixpunkte \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) des deterministischen klassischen Systems (4) (siehe „Methoden“).

Die obigen Ergebnisse zeigen deutlich, dass Turing-Instabilität tatsächlich aufgetreten ist und zur Bildung ungleichmäßiger stationärer Zustände in zwei diffusiv gekoppelten Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten geführt hat, die durch Gleichung (1) beschrieben werden. (3). In diesem Regime können wir auch direkte numerische Simulationen der entsprechenden SDE durchführen, die die durch die Turing-Instabilität verursachte Ungleichmäßigkeit deutlich visualisieren (siehe „Methoden“).

Turing-Instabilität in einem Paar diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten im semiklassischen Regime. (a,b) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) 3D-Diagramme der stationären Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) der Einheiten 1 und 2. Rote und gelbe Punkte in (a–d) stellen stabile Fixpunkte des deterministischen Systems im klassischen Limes dar. In (a,c,e) sind die beiden Einheiten entkoppelt. Die Zustände der Einheiten sind unkorreliert und um den Ursprung herum lokalisiert; Daher befindet sich das gesamte System in einem einheitlichen Zustand. In (b,d,f) sind die beiden Einheiten diffusiv gekoppelt. Aufgrund der Turing-Instabilität nehmen die beiden Einheiten tendenziell unterschiedliche Zustände an; daher ist das gesamte System uneinheitlich. In (e,f) sind die Wigner-Verteilungen für die Einheiten 1 und 2 identisch und werden daher als ein einziges Diagramm dargestellt. Die Parameter der Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1, \theta = \pi\) und \(\eta = 0,3\). Die Diffusionskonstanten sind \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) und \(D_c = 0\)) in (a,c,e) und \(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) und \(D_c = 1\)) in (b,d,f).

Als nächstes zeigen wir die Ergebnisse für das schwache Quantenregime. Wir legen die Parameter von QME (3) in einem tieferen Quantenregime fest, während wir das deterministische System im klassischen Grenzwert halten, Gl. (4) bleiben gegenüber dem vorherigen semiklassischen Fall unverändert. Zur Charakterisierung des Quantenregimes siehe „Methoden“. Abbildung 4 zeigt die Turing-Instabilität in diesem Regime. Die beiden Einheiten sind in Abb. 4a, 4c, 4e entkoppelt, während sie in Abb. 4b, 4d, 4f mit entsprechenden Diffusionskonstanten gekoppelt sind.

Wie im vorherigen semiklassischen Fall sind bei fehlender diffusiver Kopplung die marginalen Q-Verteilungen \(Q(x_1,x_2)\) und \(Q(p_1, p_2)\) von Aktivator x und Inhibitor p symmetrisch um den Ursprung lokalisiert in Abb. 4a, 4c. Wenn eine diffusive Kopplung eingeführt wird, werden diese gemeinsamen Verteilungen unsymmetrisch, was darauf hinweist, dass die beiden Einheiten antikorreliert sind und dazu neigen, entgegengesetzte Zustände anzunehmen, wie in Abb. 4b, 4d dargestellt. Aufgrund der starken nichtlinearen Dämpfung liegen in diesem Regime die beiden stabilen Fixpunkte im klassischen Limes näher beieinander als im semiklassischen Regime. Dementsprechend ist die Ungleichmäßigkeit der gemeinsamen Verteilungen aufgrund des relativ starken Einflusses des Quantenrauschens weniger ausgeprägt als im semiklassischen Fall.

Turing-Instabilität in einem Paar diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten im schwachen Quantenregime. (a,b) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) 3D-Diagramme der stationären Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) der Einheiten 1 und 2 (identisch zueinander). Rote und gelbe Punkte in (a–d) stellen stabile Fixpunkte des deterministischen Systems im klassischen Limes dar. In (a,c,e) sind die beiden Einheiten entkoppelt. Die Zustände der Einheiten sind rund um den Ursprung lokalisiert und nicht miteinander korreliert. In (b,d,f) sind die beiden Einheiten diffusiv gekoppelt. Aufgrund der Turing-Instabilität nehmen die beiden Einheiten tendenziell unterschiedliche Zustände an und weisen eine ungleichmäßige Verteilung auf. Die Parameter der Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5, \theta = \pi\) und \(\eta = 0,3\). Die Diffusionskonstanten sind \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) und \(D_c = 0\)) in (a,c,e) und \(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) und \(D_c = 1\)) in (b,d,f).

Die Abbildungen 4e und 4f zeigen die marginalen Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) der Einheiten 1 und 2, die zueinander identisch sind, vor (e) und nach ( f) die Turing-Instabilität. Verglichen mit der Wigner-Verteilung in Abb. 4e vor der Turing-Instabilität ist die Wigner-Verteilung in Abb. 4f nach der Instabilität entlang der Achse, auf der die beiden klassischen stabilen Fixpunkte existieren, stärker verlängert, obwohl es wie im semiklassischen Fall doppelt symmetrische Peaks gibt aufgrund des stärkeren Effekts des Quantenrauschens nicht beobachtet.

Obwohl das System durch Quantenrauschen unscharf ist, erfährt es mit der Einführung der diffusiven Kopplung einen Übergang vom einheitlichen Zustand zum ungleichmäßigen Zustand, d. h. die Turing-Instabilität tritt auch im hier betrachteten Quantenregime auf.

Wir betrachten auch ein starkes Quantenregime mit einer größeren Abklingrate für die nichtlineare Dämpfung. Abbildung 5 zeigt die Turing-Instabilität in diesem Regime. Da die Schwankungen aufgrund des Effekts des stärkeren Quantenrauschens stärker sind als in den beiden vorherigen Fällen, kann nur eine leichte Ungleichmäßigkeit beobachtet werden. Wie später gezeigt wird, kann die Ungleichmäßigkeit zwischen den beiden Einheiten in diesem Regime durch kontinuierliche Messung deutlicher beobachtet werden.

Turing-Instabilität in einem Paar diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten im starken Quantenregime. (a,b) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) 2D-Diagramme der Q-Verteilung \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) 3D-Diagramme der stationären Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) der Einheiten 1 und 2 (identisch zueinander). Rote und gelbe Punkte in (a–d) stellen stabile Fixpunkte des deterministischen Systems im klassischen Limes dar. In (a,c,e) sind die beiden Einheiten entkoppelt. Die Zustände der Einheiten sind rund um den Ursprung lokalisiert und nicht miteinander korreliert. In (b,d,f) sind die beiden Einheiten diffusiv gekoppelt. Aufgrund der Turing-Instabilität nehmen die beiden Einheiten tendenziell unterschiedliche Zustände an und weisen eine ungleichmäßige Verteilung auf. Die Parameter der Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\) und \(\eta = 0,3\). Die Diffusionskonstanten sind \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) und \(D_c = 0\)) in (a,c,e) und \(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) und \(D_c = 1\)) in (b,d,f).

Wir haben gesehen, dass Turing-Instabilität in einem Paar diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten im semiklassischen, schwachen Quanten- und starken Quantenregime auftritt. Hier analysieren wir die Abhängigkeit des Systemverhaltens von den Diffusionskonstanten und die Beziehung zwischen der Turing-Instabilität und der Quantenverschränkung. Wir verwenden die gleichen Parametersätze für die Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten wie in Abb. 3, 4 und 5 für das semiklassische Regime, das schwache Quantenregime und das starke Quantenregime.

Abbildung 6 zeigt den (i) maximalen Eigenwert \(\lambda _{max}\) der linearisierten Gleichung von Gl. (4) im klassischen Limes (a, b), (ii) Root Mean Square Difference (RMSD) \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle } = \sqrt{\mathrm{Tr }\,[(x_1 - x_2)^2 \rho ]}\) Quantifizierung der Ungleichmäßigkeit zwischen den beiden Einheiten (c, d, e) und (iii) Negativität \(\mathcal{N}\) (siehe „Methoden ") charakterisiert den Grad der Quantenverschränkung (f, g, h) auf der \(D_x - D_p\)-Ebene in Bezug auf den stationären Zustand von QME (3). Wir stellen fest, dass Abb. 6a und 6b sind allen Regimen gemeinsam, Abb. 6c und 6f gelten für das semiklassische Regime, Abb. 6d und 6g gelten für das schwache Quantenregime und die Abb. 6e und 6h gelten für das starke Quantenregime.

Abhängigkeit des Eigenwerts, der Ungleichmäßigkeit und der Negativität von den Diffusionskonstanten \(D_x\) und \(D_p\). (a, b) Maximale Eigenwerte \(\lambda _{max}\). (b) zeigt eine Vergrößerung von (a) in der Nähe des Ursprungs. (c,d,e) Mittlerer quadratischer Abstand \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\). (f,g,h) Negativität \({\mathcal {N}}\). In jeder Abbildung wird die kritische Kurve der Turing-Instabilität im klassischen Limes (d. h. bei der \(\lambda _{max} = 0\)) durch eine schwarz gepunktete Kurve dargestellt und der rote Punkt stellt die Diffusivitäten \( (D_x, D_p) = (0,005, 0,995)\), verwendet in Abb. 3, 4 und 5. Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \theta = \pi\), \(\eta = 0,3\) und \(\frac{2 \gamma _{2} - \ gamma _{1}}{2} = -0,1\), wobei \(\gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1\) im semiklassischen Regime (c,f), \(\ gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5\) im schwachen Quantenregime (d,g), \(\gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3\) im starken Quantenregime (e,h).

Wie in Abb. 6a, 6b gezeigt, ist der Eigenwert \(\lambda _{max}\) des einheitlichen Zustands im Bereich unterhalb der gepunkteten Kurve positiv, wo die Diffusionsfähigkeit des Inhibitors \(D_p\) im Vergleich dazu relativ groß ist zu dem des Aktivators \(D_x\). Es wird erwartet, dass Turing-Instabilität auch in diesem Bereich des Quantensystems auftritt. Der rote Punkt (\(D_x = 0,005, D_p = 0,995\)) stellt die Diffusionskonstanten im klassischen Grenzwert entsprechend Abb. dar. 3, 4 und 5.

Der in Abb. 6c–6e dargestellte RMSD zeigt, dass die Ungleichmäßigkeit tatsächlich durch die Turing-Instabilität im semiklassischen, schwachen Quanten- und starken Quantenregime verursacht wird und signifikant mit dem maximalen Eigenwert \(\lambda_{max}\) im korreliert klassische Grenze. Es besteht die Tendenz, dass die Ungleichmäßigkeit im semiklassischen Regime (c) am stärksten ausgeprägt ist, im schwachen Quantenregime (d) mäßig und im starken Quantenregime (e) nur schwach ausgeprägt ist, was darauf hindeutet, dass das Quantenrauschen schwächer ist Der Systemzustand lokalisiert sich in dieser Reihenfolge deutlicher um die beiden klassischen Fixpunkte (siehe Abbildungen 3, 4 und 5).

Die in Abb. 6f–6h gezeigte Negativität \(\mathcal{N}\) nimmt auch mit \(\lambda _{max}\) zu, was darauf hindeutet, dass eine Quantenverschränkung zwischen den beiden Einheiten auch in dem durch Turing erzeugten ungleichmäßigen Zustand auftritt Instabilität. Daher korreliert die Verschränkung tendenziell positiv mit der Ungleichmäßigkeit zwischen den beiden Aktivator-Inhibitor-Einheiten und wird im unteren rechten Teil stärker, wo \(D_x\) klein ist, während \(D_p\) in diesem Parameterbereich groß ist. Es ist zu beachten, dass ein Bereich mit hohem \(\mathcal{N}\) auch dann entsteht, wenn \(D_p\) nahe Null ist, während \(D_x\) relativ groß ist, was außerhalb des Turing-instabilen Bereichs liegt und einfach zu erkennen ist dass die beiden Einheiten bereits vor dem Einsetzen der Turing-Instabilität durch die Effekte des Two-Mode-Squeezing und der dissipativen Kopplung miteinander verschränkt sind.

Wir haben beobachtet, dass die Turing-Instabilität den einheitlichen Zustand des Systems aus zwei Einheiten destabilisiert und zu Ungleichmäßigkeiten führt. Die Verteilungen im ungleichmäßigen Zustand sind um die beiden klassischen Fixpunkte herum lokalisiert, wie in den Abbildungen zu sehen ist. 3, 4 und 5. Dies kann als ein quantenmechanischer Mischzustand der beiden klassischen Situationen interpretiert werden, in denen das System zu einem der beiden stabilen Fixpunkte konvergiert. Im Gegensatz zur klassischen Turing-Instabilität, bei der abhängig von den Anfangsbedingungen nur einer der beiden Zustände realisiert wird, bleibt die Symmetrie des gekoppelten Systems aufgrund des Quantenrauschens auch dann erhalten, wenn der Systemzustand ungleichmäßig ist. Hier zeigen wir, dass eine weitere kontinuierliche Messung des Systems diese Symmetrie aufbrechen und die wahre Asymmetrie des Systems aufdecken kann, die nur in Quantensystemen beobachtet werden kann. Über einen ähnlichen messinduzierten spontanen \({\mathbb {Z}}_2\)-Symmetriebruch in einem Spin-Kettensystem wurde berichtet74.

Wir führen eine kontinuierliche Messung des linearen Dämpfungsbades (Einzelphotonenverlust) ein, das mit jeder Einheit in QME gekoppelt ist (3). Die das System und die Messergebnisse beschreibenden stochastischen Mastergleichungen (SMEs) sind dann gegeben durch75

wobei die erste Gleichung die stochastische Entwicklung des Dichteoperators \(\rho\) des gesamten Systems unter dem Einfluss der Messung beschreibt und die zweite Gleichung das Ergebnis \(Y_j\) beschreibt (\(j=1, 2\) ) der Messung an jeder Einheit. Der Term \({\mathcal {H}}[L]\rho = L \rho + \rho L^{\dag } - \mathrm{Tr}\,[(L + L^\dagger ) \rho ]\ rho\) stellt den Effekt der durchgeführten Messung auf die Quadratur \(L + L^{\dag }\) dar; \(\kappa _j\) und \(\phi _j~(0 \le \kappa _j \le 1, 0 \le \phi _j < 2 \pi )\) stellen die Effizienz und den Quadraturwinkel der Messung auf dem j-ten dar Einheit \(~(j = 1,2)\), bzw.; \(Y_j\) ist die Ausgabe des Messergebnisses auf der j-ten Einheit \(~(j = 1,2)\); und \(dW_{1}\) und \(dW_{2}\) stellen unabhängige Wiener-Prozesse dar, die \(\langle {dW_k(t) dW_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) für erfüllen \(k,l = 1, 2\). Im Gegensatz zur QME, die gemittelte Ergebnisse über alle möglichen Messergebnisse liefert, liefert diese SME eine einzelne Quantentrajektorie des Systems unter kontinuierlicher Messung und kann die Symmetriebrechung des Systems aufdecken, die aufgrund des Quantenrauschens im stationären Zustand erhalten bleibt von QME.

Abbildung 7 zeigt das Verhalten des Systems bei kontinuierlicher Messung im semiklassischen Regime. Die Parameter sind die gleichen wie in Abb. 3b, 3d, 3f, nämlich der einheitliche Zustand des Systems wurde durch die Turing-Instabilität destabilisiert. Da die Ungleichmäßigkeit in der Ortsvariablen x ausgeprägter ist als in der Impulsvariablen p in Abb. 3d, setzen wir \(\phi _j = 0\) und führen die Messung an der Quadratur \(x_j = (a_j + a_j^) durch \dag )/2\) (\(j=1, 2\)), der zum Impuls \(p_j\) beider Einheiten konjugiert ist. Wir setzen die Messeffizienz für beide Einheiten auf \(\kappa _j = 0,25\) (\(j = 1, 2\)) und den Anfangszustand des gesamten Systems auf den Zwei-Moden-Vakuumzustand.

Turing-Instabilität unter kontinuierlicher Quantenmessung im semiklassischen Regime. (a,b) 3D-Schnappschussdiagramme der Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) bei \(t = 50\). (c,d,e,f) Zeitliche Entwicklung der Durchschnittswerte der Positions- und Impulsoperatoren für zwei Einheiten: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\) und (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Zeitliche Entwicklung der Negativität \(\mathcal{N}\). Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1, \theta = \pi\), \(\eta = 0,3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\)), und \(\phi _j = 0\) und \(\kappa _j = 0,25\) für beide \(j = 1,2\). In (f) stellt die schwarze Linie den Wert für den stationären Zustand des Systems ohne Durchführung einer Messung dar.

Die Abbildungen 7a und 7b zeigen die momentanen marginalen Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) von \(\rho _1\) und \(W(x_2, p_2)\) von \(\rho _2\) zum Zeitpunkt \ (t = 50\) ausreichend nach dem anfänglichen Übergang, erhalten durch ein DNS von SME (5). Im Gegensatz zu Abb. 3f sind diese Wigner-Verteilungen nicht stationär und schwanken aufgrund der kontinuierlichen Messung weiterhin. Jede Verteilung ist um einen der beiden stabilen Fixpunkte des klassischen Systems (4) lokalisiert und neigt dazu, den entgegengesetzten Zustand des anderen anzunehmen.

Die Antikorrelation zwischen den Zuständen der beiden Einheiten ist in Abb. 7c–7f ersichtlich, wo die zeitliche Entwicklung der Durchschnittswerte der Orts- und Impulsoperatoren beider Einheiten \(\langle {x_j}\rangle = \mathrm{Tr }\,[( (a_j + a^\dag _j)/2 )\rho ]\) und \(\langle {p_j}\rangle = -i \mathrm{Tr}\,[( (a_j - a^\ dag _j)/2 )\rho ]\) (\(j = 1,2\)), erhalten aus einer einzelnen stochastischen Trajektorie des Quanten-SME (5), werden aufgetragen. Die beiden Einheiten wechseln zufällig zwischen den beiden ungleichmäßigen Zuständen und nehmen tendenziell entgegengesetzte Zustände an. Dies zeigt deutlich, dass die durch Quantenrauschen erhaltene Symmetrie gebrochen ist und dass die durch die Turing-Instabilität im klassischen Sinne verursachte Asymmetrie durch die Extraktion von Informationen über die x-Variablen der beiden Einheiten durch kontinuierliche Messung aufgedeckt wird.

Abbildung 7g zeigt die zeitliche Entwicklung der Negativität \(\mathcal{N}\) bei kontinuierlicher Messung. Die beiden Einheiten sind deutlich miteinander verschränkt und der Grad der Verschränkung schwankt im stationären Zustand kontinuierlich um den Wert von \(\mathcal{N}\), wenn die Messung nicht durchgeführt wird.

In ähnlicher Weise zeigt Abb. 8 den Effekt einer kontinuierlichen Messung im schwachen Quantenregime gemäß Abb. 4. Wir beobachten qualitativ ähnliche Ergebnisse wie für den semiklassischen Fall in Abb. 7 im Quantenregime. Obwohl die Ungleichmäßigkeit weniger ausgeprägt ist, ist die Negativität im Durchschnitt etwas größer und die Schwankungen sind aufgrund des Effekts des stärkeren Quantenmessrauschens stärker. Bemerkenswert ist, dass die Negativität größere Werte annimmt als im Fall ohne Messung, was darauf hindeutet, dass die Symmetriebrechung aufgrund der kontinuierlichen Messung zu einer stärkeren Verschränkung in diesem Regime führt.

Turing-Instabilität unter kontinuierlicher Quantenmessung im schwachen Quantenregime. (a,b) 3D-Schnappschussdiagramme der Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) bei \(t = 49,3\). (c,d,e,f) Zeitliche Entwicklung der Durchschnittswerte der Positions- und Impulsoperatoren für zwei Einheiten: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\) und (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Zeitliche Entwicklung der Negativität \(\mathcal{N}\). Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5, \theta = \pi\), \(\eta = 0,3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\)), und \(\phi _j = 0\) und \(\kappa _j = 0,25\) für beide \(j = 1,2\). In (f) stellt die schwarze Linie den Wert für den stationären Zustand des Systems ohne Durchführung einer Messung dar.

Abschließend zeigen wir in Abb. 9 den Effekt der kontinuierlichen Messung im starken Quantenregime, der in Abb. 5 dargestellt ist. Obwohl die Fluktuationen aufgrund des Effekts des stärkeren Quantenmessrauschens stärker sind als in den beiden vorherigen Fällen, besteht die Ungleichmäßigkeit zwischen zwei einzelnen Einheiten, die in Abb. 5 recht klein waren, werden bei der kontinuierlichen Messung verstärkt und deutlicher beobachtet. Darüber hinaus nimmt die Negativität auch in diesem starken Quantenregime größere Werte an als ohne Messung. Siehe auch die Zusatzfilme zur zeitlichen Entwicklung der marginalen Wigner-Verteilungen der beiden Einheiten.

Turing-Instabilität unter kontinuierlicher Quantenmessung im starken Quantenregime. (a,b) 3D-Schnappschussdiagramme der Wigner-Verteilungen \(W(x_1, p_1)\) und \(W(x_2, p_2)\) bei \(t = 50\). (c,d,e,f) Zeitliche Entwicklung der Durchschnittswerte der Positions- und Impulsoperatoren für zwei Einheiten: (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\) und (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Zeitliche Entwicklung der Negativität \(\mathcal{N}\). Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\), \(\eta = 0,3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) und \(D_p = 0,995\)), und \(\phi _j = 0\) und \(\kappa _j = 0,25\) für beide \(j = 1,2\). In (f) stellt die schwarze Linie den Wert für den stationären Zustand des Systems ohne Durchführung einer Messung dar.

Wir haben theoretisch gezeigt, dass Turing-Instabilität in einem quantendissipativen System auftreten kann. Wir haben gezeigt, dass ein entarteter parametrischer Oszillator mit nichtlinearer Dämpfung als Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit betrachtet werden kann und dass die diffusive Kopplung zwischen zwei solchen Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten zu Turing-Instabilität führen kann, wenn die Diffusionsfähigkeiten der Aktivator- und Inhibitorvariablen geeignet gewählt werden . Aufgrund der Turing-Instabilität wird das System ungleichmäßig, verbleibt aber durch den Effekt des Quantenrauschens immer noch in einem symmetrisch gemischten Zustand. Die weitere Durchführung einer kontinuierlichen Quantenmessung bricht die Symmetrie und offenbart die Asymmetrie zwischen den beiden Einheiten.

Wir gehen davon aus, dass der in unserem Modell angenommene physikalische Aufbau grundsätzlich mit derzeit verfügbaren experimentellen Geräten umgesetzt werden kann. Die Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit ist im Wesentlichen ein entarteter parametrischer Oszillator mit nichtlinearer Dämpfung71. Die Kopplungsterme durch Squeezing können implementiert werden, indem der Single-Mode-Squeezing-Parameter der beiden Quantenaktivator-Inhibitor-Systeme angepasst und ein Two-Mode-Squeezing eingeführt wird76. Der dissipative Kopplungsterm könnte realisiert werden, indem die beiden Oszillatoren indirekt über einen zusätzlichen Hohlraum gekoppelt und adiabatisch eliminiert werden77; Ähnliche Ansätze wurden auch für die Realisierung dissipativer Kopplungen zwischen Ensembles von Atomen16 und optomechanischen Stuart-Landau-Oszillatoren14 vorgeschlagen. Ein weiterer möglicher Ansatz zur experimentellen Realisierung der vorgeschlagenen Aufbauten wäre die Verwendung der „Membran-in-the-Middle“-Optomechanik78. Es wurden auch physikalische Implementierungen von Single-Mode-Squeezing und nichtlinearer Dämpfung79, dissipativer Kopplung14 und Two-Mode-Squeezing80 vorgeschlagen. Wir gehen davon aus, dass unsere numerischen Ergebnisse für die Wigner-Verteilungen experimentell mittels Quantentomographie81 beobachtet werden können. Kürzlich wurde auch über die experimentelle Umsetzung der kontinuierlichen Quantenmessung berichtet82.

In dieser Studie haben wir ein Paar von Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten numerisch analysiert, das im klassischen, deterministischen Grenzfall Turing-Instabilität aufweist. Für klassische Systeme wurden analytische Störungsansätze auf die klassische Hauptgleichung zur Vorhersage stochastischer Turing-Muster41,83,84,85 angewendet. Möglicherweise können wir ähnliche Störungsansätze für die Quanten-Master-Gleichung12 anwenden und die Quanten-Turing-Instabilität detaillierter analysieren.

Die Quantenaktivator-Inhibitor-Einheit könnte auch durch die Verwendung von Quantenspinsystemen implementiert werden, was interessant ist, da kleine Quantenspinsysteme uns helfen könnten, mit der exponentiellen Vergrößerung der Dimensionen des Hilbert-Raums für große Quantennetzwerke umzugehen17. Ähnlich wie in früheren Studien, in denen die Kerr-Effekte15,86 und Quantensprünge87 bei der Bildung von Nichtgleichgewichtsmustern in quantendissipativen Systemen erörtert wurden, wäre es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Turing-Instabilität und starken Quanteneffekten zu klären. Eine detailliertere systematische Analyse der Beziehung zwischen Turing-Instabilität und Verschränkung ist ebenfalls eine zukünftige Studie.

Obwohl wir in dieser Studie nur den minimalen Zwei-Einheiten-Aufbau analysiert haben, können wir die Turing-Instabilität in größeren Netzwerken von Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten weiter berücksichtigen, ähnlich der Turing-Instabilität in Netzwerken klassischer Aktivator-Inhibitor-Systeme 45,46,47,48 ,49. Im Vergleich zu früheren Studien zu Quanteneffekten auf die Bildung nichtlinearer optischer Muster 35, 36, die selbst numerisch nicht einfach zu analysieren sind, da Berechnungen aller Operatorprodukte erforderlich sind 37, kann das in dieser Studie vorgeschlagene Aktivator-Inhibitor-System einfacher auf größere Netzwerke ausgeweitet werden. Somit kann es verwendet werden, um die neuartige Entstehung selbstorganisierter Muster in quantendissipativen Systemen aufzudecken, ähnlich wie frühere Studien zum Kuramoto-Übergang12, zu Quantenchimärenzuständen88 und zum Oszillationstod89 in global verbundenen Quanten-Stuart-Landau-Oszillatornetzwerken. Obwohl wir uns in dieser Studie auf ein Paar gekoppelter Aktivator-Inhibitor-Einheiten konzentriert haben, können wir möglicherweise auch viele Einheiten auf einem Gitter oder Netzwerk von Einheiten weiter koppeln und die räumlich-zeitliche Musterbildung in vollständig quantenmechanischen dissipativen Systemen analysieren.

Die Quanten-Turing-Instabilität könnte auch technische Anwendungen finden. Beispielsweise wurde die Signalverstärkung in der Nähe von Bifurkationspunkten theoretisch in klassischen biologischen Systemen90,91 und anderen klassischen92, nanoskaligen93 und Quanten94 nichtlinearen Systemen untersucht, und Signalverstärker, die nichtlineare Bifurkation nutzen, wurden experimentell implementiert95. In ähnlicher Weise könnte die Turing-Verzweigung in quantendissipativen Systemen auch neue technische Anwendungen für die Quantensignalverstärkung und Quantensensorik bieten.

Da die Turing-Instabilität ein Paradigma der Nichtgleichgewichts-Selbstorganisation in klassischen Systemen ist96, glauben wir, dass unsere Ergebnisse zur Möglichkeit der Turing-Instabilität in quantendissipativen Systemen auch eine wesentliche Rolle bei der Untersuchung der Selbstorganisation in Quantensystemen spielen und in der Zukunft relevant sein werden Wachstumsfeld der Quantentechnologie.

Ein klassisches Aktivator-Inhibitor-System wird allgemein beschrieben durch

wobei \((\dot{})\) die zeitliche Ableitung bezeichnet und x und p die Aktivator- bzw. Inhibitorvariablen darstellen. Wir gehen davon aus, dass dieses System einen stabilen Fixpunkt bei \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}})\) hat. Bezeichnet kleine Abweichungen von \(({\bar{x}}, {\bar{p}})\) als \(\delta x = x - {\bar{x}}\) und \(\delta p = p - {\bar{p}}\) und die Linearisierung von Gl. (6) erhalten wir

wobei wir annehmen, dass die Koeffizienten erfüllen

Dies sind die Bedingungen, bei denen x der Aktivator und p der Inhibitor ist. Diese Standardbedingungen können in allgemeineren Einstellungen55 gelockert werden, wir beschränken unseren Fokus jedoch auf die Fälle, die diese Bedingungen erfüllen.

Wir betrachten zwei diffusiv gekoppelte Aktivator-Inhibitor-Einheiten mit identischen Eigenschaften, beschrieben von

wobei \(D_x\) und \(D_p\) die Diffusionskonstanten der Aktivator- bzw. Inhibitorvariablen darstellen. Dieses gekoppelte System hat einen trivialen Fixpunkt \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p }})\), was einem einheitlichen Zustand des Gesamtsystems entspricht.

Bei der Turing-Instabilität kann dieser einheitliche Zustand entgegen unserer Intuition durch den Diffusionseffekt destabilisiert werden, wenn die Parameter entsprechende Bedingungen erfüllen. Um dies zu sehen, linearisieren wir Gleichung. (9) als

wobei \(\delta x_j = x_j - {\bar{x}}\) und \(\delta p_j = p_j - {\bar{p}}\) (\(j=1, 2\)) kleine Variationen sind . Der maximale Eigenwert der Jacobi-Matrix in Gl. (10) ist gegeben durch

Wenn also \(\lambda _{max} > 0\), nämlich wann

der einheitliche Fixpunkt \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p}})\ ) des gekoppelten Systems destabilisiert.

In unserem Modell sind die Funktionen f und g gegeben durch

wobei \(\gamma _1, \gamma _2, \eta\) und \(\Delta\) Parameter sind. Die Ableitungen von f und g an diesem Fixpunkt sind gegeben durch

Mit den in der vorliegenden Studie verwendeten Parameterwerten ist das Einzelsystem in Gl. (6) einen stabilen Fixpunkt bei \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}) = (0, 0)\ hat, die Bedingungen in Gl. (8) erfüllt sind, damit das einzelne System vom Aktivator-Inhibitor-Typ ist, und die Bedingung für die Turing-Instabilität in Gl. (12) kann für ein Paar diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten erfüllt werden.

Wenn die Turing-Instabilität auftritt, wird der triviale Fixpunkt (0, 0, 0, 0) des Systems destabilisiert und es entstehen zwei neue stabile Fixpunkte,

die den ungleichmäßigen Zuständen des Gesamtsystems entsprechen, entstehen über die überkritische Mistgabelgabelung, wo

Mit den in dieser Studie verwendeten Parameterwerten sind die Ableitungen von f und g \(f_x = 0,5\), \(f_p = -0,6\), \(g_x = 0,6\) und \(g_p = -0,7\). . In Abb. 3 und 4 ist der maximale Eigenwert des einheitlichen Fixpunkts \(\lambda _{max} \ approx 0,3724 > 0\); Daher ist bereits eine Turing-Instabilität aufgetreten.

Wir betrachten im Allgemeinen ein quantendissipatives System mit N Moden, das mit n Reservoirs gekoppelt ist. Wir bezeichnen mit \(a_1, \ldots , a_N\) und \(a_1^{\dag }, \ldots , a_N^{\dag }\) die Vernichtungs- bzw. Schöpfungsoperatoren des Systems. Eine allgemeine Form des QME, das dieses quantendissipative System beschreibt, ist gegeben durch

wobei \(\rho\) der Dichteoperator ist, der den Systemzustand darstellt, H ein System-Hamiltonoperator ist, \(L_{j}\) ein Kopplungsoperator zwischen dem System und dem j-ten Reservoir \((j=1,\ldots , n)\), und \({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L + L^{\dag } L \ rho )/2\) ist die Lindblad-Form72,73.

Mithilfe der Standardmethode der Phasenraumdarstellung72,73 können wir die Wigner-Verteilung \(W({{\varvec{\alpha }}}) \in {{\mathbb {R}}}\) von \( \rho\) als

wobei \({{\varvec{\alpha }}} = ( \alpha _1, \alpha ^*_1, \ldots , \alpha _N, \alpha ^*_N ) \in {{\mathbb {C}}}^ {2N}\) stellt die Zustandsvariable im 2N-dimensionalen Phasenraum dar, \(D( {\varvec{\lambda }}, {\varvec{a}}) = \exp \left( \sum _{j} (\lambda _j a_j^{\dagger } - \lambda _j^{*} a_j) \right)\), \(d^{2N} {\varvec{\lambda }} = d \lambda _1 d \lambda ^ *_1 \ldots d \lambda _N d \lambda ^*_N\), \(\alpha _j, \alpha _j^* \in {\mathbb {C}}\), \(\lambda _j,\lambda _j^ * \in {\mathbb {C}}\) und \({}^*\) zeigt komplex konjugiert an. QME (17) für den Dichteoperator \(\rho\) kann in eine partielle Differentialgleichung für die Wigner-Verteilung \(W({{\varvec{\alpha }}})\)72,73 umgewandelt werden, gegeben durch

Hier kann der Differentialoperator \({\mathcal {L}}_p\) explizit aus Gl. berechnet werden. (17) unter Verwendung der Standardrechnung72,73.

Wenn der Quanteneffekt relativ schwach ist, können wir die Ableitungsterme höherer Ordnung als der zweiten Ordnung in Gl. vernachlässigen. (19). Dann führt man eine reellwertige Darstellung der Phasenraumvariablen ein: \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, \ldots , x_N, p_N)\) mit \(\alpha _j = x_j + i p_j\) (\(j=1, \ldots ,N\)), können wir Gl. (19) durch die semiklassische FPE für \(W({{\varvec{X}}})\),

Hier ist \({{\varvec{A}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N}\) der Driftvektor und \({{\varvec {D}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N \times 2N}\) repräsentiert die Diffusionsmatrix. Die dem obigen FPE entsprechende SDE ist gegeben durch

Hier ist \({{\varvec{A}}}({{\varvec{X}}})\) dasselbe wie in Gl. (20) stellt die Matrix \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) \in {{\mathbb {R}}}^{2N}\) die Rauschintensität dar, die \( {{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec{G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({ \varvec{X}})\) wobei T die Matrixtransponierte darstellt und \(d{\varvec{W}} = ( dw_1, \ldots , dw_{2N}) \in {{\mathbb {R}}} ^{2N}\) stellt einen Vektor unabhängiger Wiener-Prozesse dar, die \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) mit \(k,l = 1, \) erfüllen ldots , 2N\). Die deterministische Trajektorie im klassischen Limes wird durch den deterministischen Term der SDE gegeben, nämlich \(\dot{{\varvec{X}}} = {{\varvec{A}}}({\varvec{X}} )\).

Wir geben hier explizite Formen der ungefähren Fokker-Planck-Gleichung (FPE) und der semiklassischen stochastischen Differentialgleichung (SDE) an, die aus der Quanten-Master-Gleichung (QME) (3) für zwei diffusiv gekoppelte Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten abgeleitet sind.

Unter Verwendung der Standardrechnung für die Phasenraumdarstellung72,73 können wir die folgende partielle Differentialgleichung ableiten, die die zeitliche Entwicklung der Wigner-Verteilung \(W({{\varvec{\alpha }}}, t)\) für darstellt \({\varvec{\alpha }} = (\alpha _1, \alpha _1^*,\alpha _2,\alpha _2^*)\) aus Gl. (22):

Wo

Hier und im Folgenden bedeutet \({\overline{j}}\) \({\overline{j}} = 2\), wenn \(j=1\) und \({\overline{j}}=1\ ), wenn \(j = 2\), und cc bezeichnet das komplexe Konjugat.

Im semiklassischen Bereich, in dem \(\gamma _2\) ausreichend klein ist, sind die Ableitungsterme dritter Ordnung in Gl. (23) kann vernachlässigt werden11,15,89 und die Koeffizienten der Ableitungsterme zweiter Ordnung sind positiv. Daher ist Gl. (23) kann durch die FPE angenähert werden

Unter Verwendung einer reellen Darstellung, also \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, x_2, p_2)\) mit \(\alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1,2)\ ), Gl. (25) kann umgeschrieben werden als

Wo

Somit ist der Driftvektor gegeben durch \({\varvec{A}}({\varvec{X}}) = (A_{x_1}, A_{p_1}, A_{x_2}, A_{p_2})\) und die Diffusionsmatrix \({{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) wird ausgedrückt als

wo wir definiert haben

Die SDE, die FPE (26) entspricht, ist gegeben durch

wobei \({{\varvec{G}}}({{\varvec{X}}})\) \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec {G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) und \(d{\varvec{W}}(t )\) \(= ( dw_1(t),\) \(dw_2(t),\) \(dw_3(t)\), \(dw_4(t))^T\) ist ein Vektor unabhängiger Wiener-Prozesse erfüllt \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) für \(k,l = 1,2,3,4\).

Wenn \(D_{c} = 0\), gilt \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\text {diag}}\left( \sqrt{v_{ 1}/2}, \sqrt{v_{1}/2}, \sqrt{v_{2}/2}, \sqrt{v_{2}/2} \right)\). Wenn \(D_{c} \ne 0\), kann die Diffusionsmatrix \({\varvec{D}}({\varvec{X}})\) mithilfe der Matrix diagonalisiert werden

als

Wo

Und

Somit kann die Matrix \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}})\) als \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) gewählt werden = {\varvec{U}}({\varvec{X}}) \sqrt{{\varvec{D}}'({\varvec{X}})} {\varvec{U}}^{-1} ({\varvec{X}})\)89, d. h.

Zusätzlich zum QME führen wir auch direkte numerische Simulationen der semiklassischen SDE (30) entsprechend FPE (26) durch, um die Beziehung der Verteilungen der Quantenzustände mit den klassischen Fixpunkten nach der Turing-Instabilität zu zeigen. Beispielsweise zeigen die ergänzenden Abbildungen S1(a) und S1(b) Streudiagramme einer stochastischen Trajektorie zweier diffusiv gekoppelter Quantenaktivator-Inhibitor-Einheiten, und Abb. S1(c) zeigt das 2D-Diagramm der Wigner-Verteilung \(W( x_{1,2}, p_{1,2})\) in Abb. 3f. In Abb. S1(a) und S1(b) bewegen sich die Zustände der Einheiten 1 und 2 aufgrund von Quantenrauschen stochastisch zwischen den beiden stabilen Fixpunkten hin und her. Diese Streudiagramme stimmen mit den Wigner-Verteilungen überein, die um die beiden stabilen Fixpunkte in Abb. S1 (c) verteilt sind.

Wir charakterisieren den Grad des Quanteneffekts, wenn der nichtlineare Dämpfungsparameter \(\gamma _2\) mithilfe der Genauigkeit der semiklassischen Näherung variiert wird. Die Diskrepanz zwischen der semiklassischen Näherung und dem ursprünglichen QME charakterisiert, wie tief das System im Quantenregime liegt. Um die Parameter der entsprechenden klassischen Systeme unverändert zu lassen, wird der lineare Dämpfungsparameter als \(\gamma _1 = \gamma _1' + 2 \gamma _2\) gewählt, wobei \(\gamma _1'\) eine Konstante ist und Die anderen Parameter sind auf die gleichen Werte wie zuvor festgelegt.

In den Abbildungen 10a, 10b und 10c sind die durchschnittlichen Photonenzahlen in beiden Einheiten und die Ungleichmäßigkeit \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) als Funktionen des nichtlinearen Dämpfungsparameters \(\gamma) dargestellt _2\). Hier wird die durchschnittliche Anzahl der Photonen als Ensemble-Durchschnitt \(\langle { a_j^\dag a_j }\rangle = \mathrm{Tr}\,[ a_j^\dag a_j \rho ]~(j=1,2) berechnet )\) von \(a_j^\dag a_j\), erhalten aus der QME und als Durchschnitt \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) von \(\alpha _j \alpha ^*_j\), erhalten aus der semiklassischen SDE, wobei die Beziehung

gilt ungefähr im semiklassischen Regime. Die semiklassischen Ergebnisse nähern sich gut den Ergebnissen der QME im Regime mit kleinem \(\gamma _2\) an, und der Fehler aufgrund der semiklassischen Näherung nimmt mit zunehmendem \(\gamma _2\) allmählich zu. Wenn also \(\gamma _2 = 0,1\) (Abb. 2, 3, 6c, 6f und 7), ist die semiklassische Näherung gültig und das System befindet sich im semiklassischen Regime, während bei \(\gamma _2 = 0,5 \) (Abb. 4, 6d, 6g und 8) und \(\gamma _2 = 3\) (Abb. 5, 6e, 6h und 9) ist die semiklassische Näherung nicht mehr gültig und das System befindet sich im Quantenregime . Der Grad des Quanteneffekts kann auch durch die Reinheit charakterisiert werden, wie in Abb. 10d gezeigt, wobei die Reinheit mit der Zunahme von \(\gamma _2\) zunimmt. Wir zeigen in Abb. 10e–10g auch die Elemente der Dichtematrix einer einzelnen Einheit \(\rho _1\) in Bezug auf die Zahlenbasis im semiklassischen (e), schwachen Quantenregime (f) und starken Quantenregime ( G). Wir sehen, dass das Energieniveau, bis zu dem die Elemente der Dichtematrix einen Wert ungleich Null annehmen, mit zunehmendem \(\gamma_2\) niedriger wird und die Diskretion des Energiespektrums stärker hervortritt.

Charakterisierung des Quantenregimes: durchschnittliche Photonenzahlen, Ungleichmäßigkeit, Reinheit und Elemente der Dichtematrix einer einzelnen Einheit vs. \(\gamma_2\). (a) Durchschnittliche Photonenzahl von Einheit 1. (b) Durchschnittliche Photonenzahl von Einheit 2. (c) Mittlerer quadratischer Abstand \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) (d ) Reinheit P. (e–g) Elemente der Dichtematrix einer einzelnen Einheit \(\rho _1\) in Bezug auf die Zahlenbasis im semiklassischen (e), schwachen Quantenregime (f) und starken Quantenregime (g). ). In (a–c) Ergebnisse aus der semiklassischen SDE \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}} - 1/2\) (rote Punkte) und QME \(\langle {a_j^\dag a_j}\rangle\) (blaue Linien) (\(j=1, 2\)) werden angezeigt, wobei \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j} \rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) wird als zeitlicher Durchschnitt von \(\alpha _j(t) \alpha ^*_j(t)\) über ein Zeitintervall der Länge 30000 nach dem Anfang berechnet vergänglich. Die Parameter sind \(\Delta = -0,6, \theta = \pi\), \(\eta = 0,3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005 \) und \(D_p = 0,995\)), und \(\gamma _{1} = \gamma '_1 + 2 \gamma _2\) mit \(\gamma '_1 = 0,2\). In (z. B.) \(\gamma _2 = 0.1\) (e), \(\gamma _2 = 0.5\) (f), \(\gamma _2 = 3\) (g).

Wir verwenden die Negativität \({\mathcal {N}} = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{1}}\right\| _{1}-1})/{2}\) zu Quantifizieren Sie die Quantenverschränkung der beiden Einheiten, wobei \(\rho ^{\Gamma _{1}}\) die teilweise Transponierte des Dichteoperators \(\rho\) des Zweimodensystems mit den Einheiten 1 und 2 darstellt bezüglich Einheit 1 und \(\left\| }\)97,98. Eine Negativität ungleich Null zeigt an, dass die beiden Einheiten miteinander verflochten sind. Beachten Sie, dass die Negativität \(\mathcal{N}' = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{2}}\right\| _{1}-1})/{2}\) berechnet wird mit in Bezug auf Einheit 2 ist gleich der Negativität \(\mathcal{N}\), die in Bezug auf Einheit 1 berechnet wurde.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem veröffentlichten Artikel und seinen ergänzenden Informationsdateien enthalten.

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Johansson, J., Nation, P. & Nori, F. Qutip 2: Ein Python-Framework für die Dynamik offener Quantensysteme. Berechnen. Physik. Komm. 184, 1234–1240 (2013).

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Numerische Simulationen wurden mit der numerischen QuTiP-Toolbox99,100 durchgeführt. Wir danken JSPS KAKENHI JP17H03279, JP18H03287, JPJSBP120202201, JP20J13778, JP22K14274, JP22K11919, JP22H00516 und JST CREST JP-MJCR1913 für finanzielle Unterstützung.

Abteilung für komplexe und intelligente Systeme, Future University Hakodate, Hokkaido, 041-8655, Japan

Yuzuru Kato

Abteilung für System- und Steuerungstechnik, Tokyo Institute of Technology, Tokio, 152-8552, Japan

Hiroya Nakao

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Beide Autoren haben die Studie entworfen, die Analyse durchgeführt und zum Verfassen des Artikels beigetragen. YK führte numerische Simulationen durch.

Korrespondenz mit Yuzuru Kato.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Springer Nature bleibt neutral hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten.

Ergänzungsfilm S1.

Ergänzungsfilm S2.

Ergänzungsfilm S3.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Kato, Y., Nakao, H. Turing-Instabilität in Quantenaktivator-Inhibitor-Systemen. Sci Rep 12, 15573 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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Eingegangen: 07. April 2022

Angenommen: 23. August 2022

Veröffentlicht: 16. September 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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